sisällysluetteloon
edelliseen osaan
seuraavaan osaan
| Of the Beauty of Theorems. | Teoreemojen kauneudesta | ||
| 1 | The Beauty of Theorems, or universal Truths demonstrated, deserves a distinct Consideration, being of a Nature pretty different from the former kinds of Beauty; and yet there is none in which we shall see such an amazing Variety with Uniformity: and hence arises a very great Pleasure distinct from Prospects of any farther Advantage. | Teoreemojen kauneus, eli todistettujen yleispätevien totuuksien kauneus, ansaitsee erillisen tarkastelun, sillä se on luonteeltaan melko erilaista kuin edelliset kauneuden lajit. Missään muualla emme tapaa yhtä hämmästyttävää moninaisuutta ja samalla yhtenäisyyttä. Tämä tuottaa erittäin suurta nautintoa, joka ei ole yhteydessä tulevien etujen odotukseen. | |
| 2 | For in one Theorem we may find included, with the most exact Agreement, an infinite Multitude of particular Truths; nay, often a Multitude of Infinites: so that altho' the Necessity of forming abstract Ideas, and universal Theorems, arises perhaps from the Limitation of our Minds, which cannot admit an infinite Multitude of singular Ideas or Judgments at once, yet this Power gives us an Evidence of the Largeness of the human Capacity above our Imagination. Thus, for instance, the 47th Proposition of the first Book of Euclid's Elements contains an infinite Multitude of Truths, concerning the infinite possible Sizes of right-angled Triangles, as you make the Area greater or less; and in each of these Sizes you may find an infinite Multitude of dissimilar Triangles, as you vary the Proportion of the Base to the Perpendicular; all which Infinites agree in the general Theorem. In Algebraick, and Fluxional Calculations, we shall find a like Variety of particular Truths included in general Theorems; not only in general Equations applicable to all Kinds of Quantity, but in more particular Investigations of Areas and Tangents: In which one Manner of Operation shall discover Theorems applicable to many Orders or Species of Curves, to the infinite Sizes of each Species, and to the infinite Points of the innumerable Individuals of each Size. | Yhteen teoreemaan sisältyy näet äärettömästi täydellisen yhdenmukaisia yksittäisiä totuuksia, usein jopa monia äärettömyyksiä. Kenties tarve muodostaa abstrakteja ideoita ja yleispäteviä teoreemoja syntyy mielemme rajoittuneisuudesta, sillä emme kykene käsittelemään kerralla ääretöntä määrää yksittäisiä ideoita tai arvostelmia. Silti tämä muodostamisen voima osoittaa, että ihminen on kyvykkäämpi kuin kuvittelemmekaan. Esimerkiksi Eukleideen Alkeiden ensimmäisen kirjan 47. teoreema sisältää äärettömän määrän totuuksia, sillä se kattaa äärettömän määrän pinta-alaltaan erikokoisia suorakulmaisia kolmioita. Ja vaikka pinta-ala pysyy samana, saadaan jälleen ääretön määrä erilaisia kolmioita, kun kannan ja korkeuden suhdetta muutetaan. Ja kaikki tämä äärettömyys on yleisen teoreeman mukaista. Algebrassa ja differentiaalilaskennassa yleiset teoreemat sisältävät vastaavan moninaisuuden yksittäisiä totuuksia. Kyse ei ole vain yhtälöistä, joita voidaan soveltaa kaikenlaisiin suureisiin, vaan myös yksityiskohtaisemmista pinta-aloja ja tangentteja koskevista tutkimuksista. Niissä yksi laskutapa tuottaa tulokseksi lauseita, joita voidaan soveltaa moniin käyrien luokkiin, kunkin luokan äärettömän moniin kokoihin sekä kunkin koon lukemattomien yksilöllisten käyrien äärettömän moniin pisteisiin. | |
| 3 | That we may the better discern this Agreement, or Unity of an Infinity of Objects, in the general Theorem, to be the Foundation of the Beauty or Pleasure attending their Discovery, let us compare our Satisfaction in such Discoveries, with the uneasy State of Mind when we can only measure Lines, or Surfaces, by a Scale, or are making Experiments which we can reduce to no general Canon, but are only heaping up a Multitude of particular incoherent Observations. Now each of these Trials discovers a new Truth, but with no Pleasure or Beauty, notwithstanding the Variety, till we can discover some sort of Unity, or reduce them to some general Canon. | Yleisen teoreeman sopusointu eli lukemattomien osatekijöiden ykseys on perusta niiden löytymisestä koituvalle kauneudelle tai nautinnolle. Jotta tämä kävisi ilmeiseksi, verratkaamme tällaisten löytöjen tuottamaa tyydytystä siihen levottomaan mielentilaan, johon joudumme, kun voimme ainoastaan mitata viivoja tai pintoja tai kun teemme kokeita, joiden tuloksia emme voi palauttaa mihinkään yleiseen sääntöön vaan kasaamme yhteen vain joukon yksittäisiä toisiinsa liittymättömiä havaintoja. Jokainen näistä kokeista paljastaa kyllä uuden totuuden, mutta moninaisuudesta huolimatta mukaan ei liity nautintoa eikä kauneutta, ennen kuin onnistumme löytämään jonkinlaisen ykseyden tai palauttamaan totuudet johonkin yleiseen sääntöön. | |
| 4 | Again, Let us take a Metaphysical Axiom, such as this, Every Whole is greater than its Part; and we shall find no Beauty in the Contemplation. For tho' this Proposition contains many Infinitys of particular Truths; yet the Unity is inconsiderable, since they all agree only in a vague, undetermin'd Conception of Whole and Part, and in an indefinite Excess of the former above the latter, which is sometimes great and sometimes small. So, should we hear that the Cylinder is greater than the inscrib'd Sphere, and this again greater than the Cone of the same Altitude, and Diameter of the Base, we shall find no Pleasure in this Knowledge of a general Relation of greater and less, without any precise Difference or Proportion. But when we see the universal exact Agreement of all possible Sizes of such Systems of Solids, that they preserve to each other the constant Ratio of 3, 2, 1; how beautiful is the Theorem, and how are we ravish'd with its first Discovery! We may likewise observe, that easy or obvious Propositions, even where the Unity is sufficiently distinct and determinate, do not please us so much as those, which being less obvious, give us some Surprize in the Discovery: Thus we find little Pleasure in discovering, that a Line bisecting the vertical Angle of an Isosceles Triangle, bisects the Base, or the Reverse; or, that Equilateral Triangles are Equiangular. These Truths we almost know Intuitively, without Demonstration: They are like common Goods, or those which Men have long possessed, which do not give such sensible Joys as much smaller new Additions may give us. But let none hence imagine, that the sole Pleasure of Theorems is from Surprize; for the same Novelty of a single Experiment does not please us much: nor ought we to conclude from the greater Pleasure accompanying a new, or unexpected Advantage, that Surprize, or Novelty, is the only Pleasure of Life, or the only Ground of Delight in Truth. Another kind of Surprize in certain Theorems increases our Pleasure above that we have in Theorems of greater Extent; when we discover a general Truth, which upon some confused Notion we had reputed false: as that Asymptotes always approaching should never meet the Curve. This is like the Joy of unexpected Advantage where we dreaded Evil. But still the Unity of many Particulars in the general Theorem is necessary to give Pleasure in any Theorem. |
Esimerkiksi voidaan ottaa myös jokin metafyysinen aksiooma, kuten »jokainen kokonaisuus on suurempi kuin sen osa». Kun sitä tarkastellaan, ei havaita kauneutta. Vaikka väite sisältää lukemattomia yksittäisiä totuuksia, ykseyttä ei juuri ole, sillä yhtenevyyden perusta on vain hämärä ja epäselvä käsitys kokonaisuudesta ja osasta sekä se, että edellinen on suurempi kuin jälkimmäinen epämääräiseksi jäävällä tavalla, eli joskus enemmän, joskus vähemmän. Jos siis kuulemme, että lieriö on suurempi kuin sen sisään mahtuva pallo ja tämä puolestaan on suurempi kuin kartio, jolla on sama korkeus ja sama pohjan halkaisija, tämä tieto ei tuota meille nautintoa. Kysehän olisi vain pienemmän ja suuremman yleisestä suhteesta vailla tarkempaa mittaa tai suhdelukua. Mutta tilanne muuttuu, kun huomaamme, että kaikissa mahdollisissa tällaisissa kappalekolmikoissa kokojen suhde on 3, 2, 1. Kuinka kaunis onkaan tämä teoreema ja kuinka se lumoaakaan meidät, kun ensi kertaa sen keksimme! Voimme myös panna merkille, että helpot tai ilmeiset väittämät – vaikka niiden yhtenäisyys olisi riittävän selvää ja lujaa – eivät miellytä meitä yhtä paljon kuin vähemmän ilmeiset väittämät, jotka siksi löydettäessä yllättävät. Niinpä meille ei tuota kummoista nautintoa huomata, että tasakylkisen kolmion pystykulman puolittava suora puolittaa myös pohjan (tai päinvastoin) tai että tasasivuiset kolmiot ovat tasakulmaisia. Nämä totuudet tiedämme melkein intuitiivisesti, todistamatta; ne ovat kuin yhteistä hyvää tai jotain, mitä ihmisillä on ollut jo kauan, eivätkä ne tuota tuntuvaa iloa siinä määrin kuin paljon pienemmät uudet lisäykset saattavat tuottaa. Tästä ei pidä kuitenkaan tehdä sitä johtopäätöstä, että teoreemat tuottavat nautintoa vain yllättävyyttään, sillä yksittäisen kokeen tuoma vastaavanlainen uutuus ei miellytä meitä kovinkaan paljon. Vaikka suurempi nautinto säestää uutuutta tai odottamatonta etuisuutta, tästä ei tule päätellä, että yllätys tai uutuus olisi elämän ainoa nautinto tai totuuden tarjoaman ilon ainoa perusta. Joskus teoreema voi olla hyvinkin kattava, mutta saamme suurempaa nautintoa toisesta, suppeammasta, johon liittyy erilainen yllätys. Tästä on kyse, kun huomaamme yleisen totuuden, jota olimme jonkin epämääräisen käsityksen nojalla pitäneet vääränä (kuten että asymptootit eivät koskaan kohtaa käyrää, vaikka jatkuvasti lähestyvät sitä). Tämä on kuin ilo odottamattomasta etuisuudesta siellä, missä olimme pelänneet pahaa. Kaikesta tästä huolimatta välttämätön ehto minkä tahansa teoreeman tuottamalle nautinnolle on monien yksittäistapausten ykseys yleisen teoreeman alaisuudessa. |
|
| 5 | There is another Beauty in Propositions, when one Theorem contains a great Multitude of Corollarys easily deducible from it. Thus there are some leading, or fundamental Propertys, upon which a long Series of Theorems can be naturally built: Such a Theorem is the 35th of the 1st Book of Euclid, from which the whole Art of measuring right-lin'd Areas is deduced, by Resolution into Triangles, which are the Halfs of so many Parallelograms; and these are each respectively equal to so many Rectangles of the Base into the perpendicular Altitude: The 47th of the 1st Book is another of like Beauty, and so are many others, in higher Parts of Geometry. In the Search of Nature there is the like Beauty in the Knowledge of some great Principles, or universal Forces, from which innumerable Effects do flow. Such is Gravitation, in Sir Isaac Newton's Scheme. What is the Aim of our ingenious Geometers? A continual Inlargement of Theorems, or making them extensive, shewing how what was formerly known of one Figure extends to many others, to Figures very unlike the former in Appearance. It is easy to see how Men are charm'd with the Beauty of such Knowledge, besides its Usefulness; and how this sets them upon deducing the Propertys of each Figure from one Genesis, and demonstrating the mechanick Forces from one Theorem of the Composition of Motion; even after they have sufficient Knowledge and Certainty in all these Truths from distinct independent Demonstrations. And this Pleasure we enjoy even when we have no Prospect of obtaining any other Advantage from such Manner of Deduction, than the immediate Pleasure of contemplating the Beauty: nor could Love of Fame excite us to such regular Methods of Deduction, were we not conscious that Mankind are pleas'd with them immediately, by this internal Sense of their Beauty. It is no less easy to see into what absurd Attempts Men have been led by this Sense of Beauty, and an Affectation of obtaining it in the other Sciences as well as the Mathematicks. 'Twas this probably which set Descartes on that hopeful Project of deducing all human Knowledge from one Proposition, viz. Cogito, ergo sum; while others pleaded, that Impossibile est idem simul esse & non esse, had much fairer Pretensions to the Style and Title of Principium humanæ Cognitionis absolutè primum. Mr. Leibnitz had an equal Affection for his favourite Principle of sufficient Reason for every thing in Nature, and boasts of the Wonders he had wrought in the intellectual World by its Assistance. If we look into particular Sciences, we see the Inconveniences of this Love of Uniformity. How aukwardly does Puffendorf deduce the several Dutys of Men to God, themselves, and their Neighbours, from his single fundamental Principle of Sociableness to the whole Race of Mankind? This Observation is a strong Proof, that Men perceive the Beauty of Uniformity in the Sciences, since they are led into unnatural Deductions by pursuing it too far. |
Toisenlaista kauneutta väitteissä on se, että yhteen teoreemaan sisältyy suuri joukko siitä johdettavia seurauslauseita. On siis jotakin keskeistä tai perustavaa, jonka varaan voidaan luontevasti rakentaa pitkä sarja teoreemoja. Tällainen on Eukleideen ensimmäisen kirjan 35. teoreema, josta johdetaan koko suorien rajoittamien alojen mittaaminen: alat jaetaan kolmioiksi, jotka ovat puolikkaita vastaavasta määrästä suunnikkaita, ja nämä puolestaan vastaavat samaa määrää suorakulmioita, joiden kanta on sama ja korkeus suunnikkaan kohtisuora korkeus. Tällaista kauneutta on myös ensimmäisen kirjan 47. teoreemassa ja samoin monissa muissa, jotka kuuluvat geometrian edistyneempiin osiin. Luonnon tutkimisessa samanlaisen kauneuden äärelle päästään, kun tunnetaan laajakantoisia periaatteita tai perustavia voimia, joista juontuu lukemattomia seurauksia. Tällainen on painovoima Isaac Newtonin järjestelmässä. Entä mikä on kekseliäiden geometrikkojemme tavoite? Se on teoreemojen jatkuva laajentaminen eli niiden soveltamisalan kasvattaminen osoittamalla, kuinka se, mitä aiemmin tiedettiin yhdestä kuviosta, pätee myös moniin muihin, paljonkin alkuperäisestä poikkeaviin kuvioihin. On helppoa ymmärtää, kuinka ihmiset ovat tällaisen tiedon hyödyllisyyden lisäksi lumoutuneet sen kauneudesta. Tämä saa heidät johtamaan kunkin kuvion ominaisuudet yhdestä alkuperästä ja todistamaan mekaniikan voimia koskevat tulokset vetoamalla yhteen liikkeiden yhdistämisen teoreemaan. Tähän ryhdytään senkin jälkeen kun heillä on riittävä tieto ja varmuus kaikista näistä totuuksista erillisten, itsenäisten todistusten nojalla. Ja tästä nautimme, vaikka emme voi odottaa tällaisesta päättelystä koituvan muuta etua kuin nimenomaan sen välittömän nautinnon, jota kauneuden tarkastelu tarjoaa. Maineen tavoittelukaan ei saisi meitä ryhtymään tällaisiin sääntöjen mukaisiin johtamisiin, ellemme tietäisi, että ihmiskunta nauttii niistä välittömästi sisäisellä aistillaan, joka kohdistuu niiden kauneuteen. Yhtä helppoa on kuitenkin huomata, mihin mielettömiin yrityksiin tämä kauneusaisti ja kauneuden tavoittelu on johtanut ihmiset muissakin tieteissä kuin matematiikassa. Luultavasti juuri tämä sai Descartesin toiveikkaasti yrittämään kaiken inhimillisen tiedon johtamista yhdestä ainoasta väitteestä: cogito, ergo sum [ajattelen, olen siis olemassa]. Toiset puolestaan väittivät, että lause impossibile est idem simul esse & non esse [ei voi yhtä aikaa sekä olla että ei olla] ansaitsee paremmin nimen principium humanæ cognitionis absolutè primum [inhimillisen tietämyksen ehdoton ensimmäinen periaate]. Leibniz oli yhtä lailla kiintynyt suosikkiperiaatteeseensa, että luonnossa kaikelle on oltava riittävä peruste, ja ylpeili ihmeteoilla, joihin hän oli sen avulla yltänyt älyn maailmassa. Kun tarkastelemme yksittäisiä tieteitä, huomaamme, millaisia haittoja tällä yhtenäisyyden tavoittelulla on. Kuinka kömpelösti Pufendorf johtaakaan ihmisten erilaiset velvollisuudet Jumalaa, itseään ja lähimmäisiään kohtaan yhdestä ainoasta perusperiaatteesta, koko ihmiskunnan yhteisöllisyydestä! Ihmiset siis havaitsevat yhtenäisyyden kauneuden tieteissä, mitä todistaa voimallisesti se, että he luisuvat luonnottomiin päätelmiin liiallisesti sitä tavoitellessaan. |
|
| 6 | This Delight which accompanys Sciences, or universal Theorems, may really be call'd a kind of Sensation; since it necessarily accompanys the Discovery of any Proposition, and is distinct from bare Knowledge itself, being most violent at first, whereas the Knowledge is uniformly the same. And however Knowledge inlarges the Mind, and makes us more capable of comprehensive Views and Projects in some kinds of Business, whence Advantage may also arise to us; yet we may leave it in the Breast of every Student to determine, whether he has not often felt this Pleasure without any such Prospect of Advantage from the Discovery of his Theorem. All which can thence be inferr'd is only this, that as in our external Senses, so in our internal ones, the pleasant Sensations generally arise from those Objects which calm Reason would have recommended, had we understood their Use, and which might have engag'd our Pursuits from Self-interest. | Tätä tieteisiin tai yleispäteviin teoreemoihin liittyvää ihastumista voidaan todellakin kutsua eräänlaiseksi aistimukseksi, sillä se saattelee välttämättä minkä tahansa väittämän keksimistä ja on eri asia kuin pelkkä tieto sinänsä: sehän on aluksi voimakkainta, kun taas tieto pysyy yhtäläisen samana. Toki tieto avartaa mieltämme ja lisää laajakatseisuutta ja suunnitelmallisuutta erilaisissa hankkeissa, joista meille saattaa koitua etuakin. Kukin tutkija voi kuitenkin omalla kohdallaan muistella, eikö hän monesti ole tuntenut tätä nautintoa ilman mitään ajatusta eduista, joita hänen teoreemansa keksiminen tuo mukanaan. Tästä voidaan päätellä ainoastaan, että niin ulkoisissa kuin sisäisissä aisteissa miellyttävät aistimukset johtuvat yleensä niistä kohteista, joita järki olisi suositellut, jos olisimme ymmärtäneet niiden hyödyn, ja joita kohti olisimme saattaneet suuntautua oman etumme vuoksi. | |
| 7 | As to the Works of Art, were we to run thro' the various artificial Contrivances or Structures, we should constantly find the Foundation of the Beauty which appears in them, to be some kind of Uniformity, or Unity of Proportion among the Parts, and of each Part to the Whole. As there is a great Diversity of Proportions possible, and different Kinds of Uniformity, so there is room enough for that Diversity of Fancys observable in Architecture, Gardening, and such-like Arts in different Nations; they all may have Uniformity, tho' the Parts in one may differ from those in another. The Chinese or Persian Buildings are not like the Grecian and Roman, and yet the former has its Uniformity of the various Parts to each other, and to the Whole, as well as the latter. In that kind of Architecture which the Europeans call Regular, the Uniformity of Parts is very obvious, the several Parts are regular Figures, and either equal or similar at least in the same Range; the Pedestals are Parallelopipedons, or square Prisms; the Pillars, Cylinders nearly; the Arches circular, and all those in the same Row equal; there is the same Proportion every-where observ'd in the same Range between the Diameters of Pillars and their Heights, their Capitals, the Diameters of Arches, the Heights of the Pedestals, the Projections of the Cornice, and all the Ornaments in each of our five Orders. And tho' other Countrys do not follow the Grecian or Roman Proportions; yet there is even among them a Proportion retain'd, a Uniformity, and Resemblance of corresponding Figures; and every Deviation in one Part from the Proportion which is observ'd in the rest of the Building, is displeasing to every Eye, and destroys or diminishes at least the Beauty of the Whole. | Siirtykäämme tarkastelemaan taideteoksia. Jos setvisimme erilaisia ihmisen laatimia rakenteita ja rakennelmia, huomaisimme yhtenään, että niissä ilmenevän kauneuden perusta on jonkinlainen yhdenmukaisuus tai mittasuhteiden yhtenäisyys osien välillä sekä kunkin osan ja kokonaisuuden välillä. Koska mittasuhteet voivat olla hyvinkin erilaisia ja yhtenäisyys monenlaista, jää riittävästi tilaa sille mielikuvituksen moninaisuudelle, jota tavataan eri kansojen arkkitehtuurissa, puutarhanhoidossa ja muissa vastaavissa taiteissa. Niissä kaikissa voi olla yhtenäisyyttä, vaikka osat olisivat erilaisia; kiinalaiset tai persialaiset rakennukset eivät ole samanlaisia kuin kreikkalaiset ja roomalaiset, mutta kaikissa osat ovat yhtenäisiä suhteessa toisiinsa ja kokonaisuuteen. Eurooppalaisten säännölliseksi kutsumassa rakennustaiteessa osien yhtenäisyys on hyvinkin ilmeistä. Osat ovat muodoltaan säännöllisiä, joko samanlaisia tai samantapaisia ainakin saman sarjan tai kokonaisuuden puitteissa. Jalustat ovat kuutioita tai muita suuntaissärmiöitä, pylväät lähes lieriöitä, kaaret pyöreitä ja samassa rivissä samanlaisia. Kunkin viiden pylväsjärjestelmän sisällä vallitsevat samat mittasuhteet pylväiden halkaisijoiden ja korkeuksien, niiden kapiteelien, kaarien halkaisijoiden, jalustojen korkeuksien, korniisin ulkonemisen sekä kaikkien koristeiden välillä. Ja vaikka muissa maissa ei noudatetakaan kreikkalaisia tai roomalaisia mittasuhteita, niiden rakennuksissa on omat mittasuhteensa, oma ykseytensä, ja toisiaan vastaavat muodot ovat keskenään samankaltaisia. Ei miellytä silmää, jos rakennuksen yhdessä osassa mittasuhteet poikkeavat muualla vallitsevista; se tuhoaa kokonaisuuden kauneuden tai ainakin vähentää sitä. | |
| 8 | The same might be observ'd thro' all other Works of Art, even to the meanest Utensil; the Beauty of every one of which we shall always find to have the same Foundation of Uniformity amidst Variety, without which they appear mean, irregular and deform'd. | Sama voidaan havaita kaikissa muissakin taideteoksissa, jopa vaatimattomimmissa käyttöesineissä. Kaikissa niissä huomaamme kauneuden perustana olevan aina ykseyden moninaisuudessa. Ilman sitä ne vaikuttavat mitättömiltä, epäsäännöllisiltä ja epämuodostuneilta. |